Question

5．將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有1×12，2×6，3×4三種，其中3×4是這三種分解中兩數(shù)差的絕對(duì)值最小的，我們稱3×4為12的最佳分解．當(dāng)p×q（p≤q且pq∈N^*，）是正整數(shù)n的最佳分解時(shí)，我們定義函數(shù)f（n）=q-p，例如f（12）=4-3=1．?dāng)?shù)列{f（3ⁿ）}的前100項(xiàng)和為3⁵⁰-1．

Answer 1

分析 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（3ⁿ）=0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（3ⁿ）=${3}^{\frac{n+1}{2}}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$=2×${3}^{\frac{n-1}{2}}$，再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（3ⁿ）=0；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（3ⁿ）=${3}^{\frac{n+1}{2}}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$=2×${3}^{\frac{n-1}{2}}$，
∴S₁₀₀=2（3⁰+3¹+…+3⁴⁹）=$2×\frac{{3}^{50}-1}{3-1}$=3⁵⁰-1．
故答案為：3⁵⁰-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．