Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|，g（x）=|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+g（x）＜2；
（Ⅱ）對于實數(shù)x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，求證|x-2y+1|≤5．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式f（x）+g（x）＜2，即|x-1|+|x-2|＜2，令 y=x-1|+|x-2|，做出函數(shù)y的圖象，它與直線y=2的交點坐標(biāo)為（

1

2

，2）和(

5

2

，2)，由此求得f（x）+g（x）＜2的解集．
（Ⅱ）利用絕對值不等式的性質(zhì)可得|x-2y+1|=|（x-1）-2（y-1）|≤|x-1|+2|y-1|，同理可得|x-1|+2|y-1|
≤f（x）+2g（y）+2，結(jié)合條件得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）+g（x）＜2，即|x-1|+|x-2|＜2，
令 y=x-1|+|x-2|，則函數(shù)y=

3-2x≤1 ，  x≤1 1 ，  1＜x＜2 2x-3  ， x ≥2

，做出函數(shù)y的圖象，
它與直線y=2的交點坐標(biāo)為（

1

2

，2）和(

5

2

，2)．

所以f（x）+g（x）＜2的解集為(

1

2

，

5

2

)．----（5分）
（Ⅱ）因為 f（x）=|x-1|，g（y）=|y-2|，
而|x-2y+1|=|（x-1）-2（y-1）|≤|x-1|+2|y-1|=|x-1|+2|（y-2）+1|
≤|x-1|+2|（y-2）|+2=f（x）+2g（y）+2≤5．
所以|x-2y+1|≤5．--------（10分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．