Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c圖象上的點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+1．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)有極值，求f（x）的表達(dá)式；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，由函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為-3，可得f′（1）=-3；又f（1）=-1+a+b+c=-2；由函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)有極值，可得f′（-2）=0，聯(lián)立解得即可．
（2）由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，可得導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-3x²-bx+b在區(qū)間[-2，0]上的值恒大于或等于零，因此

f′(-2)=-12+2b+b≥0 f′(0)=b≥0

，解得即可．

解答： 解：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，
函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1．  
∵函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)有極值，
∴f′（-2）=-12-4a+b=0，
聯(lián)立

2a+b=0 a+b+c=-1 -12-4a+b=0

，
解得a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，
∴導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-3x²-bx+b在區(qū)間[-2，0]上的值恒大于或等于零，
則

f′(-2)=-12+2b+b≥0 f′(0)=b≥0

，
解得b≥4，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．