Question

若關(guān)于x的不等式ax²+3x-1＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜1}，
（1）求a的值；
（2）求不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)不等式的解集，即可得到方程ax²+3x-1=0的兩個根為

1

2

和1，根據(jù)韋達(dá)定理可以求得a的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可以得到不等式2x²+3x-5＜0，求出方程2x²+3x-5=0的根，從而得到不等式的解集．

解答：解：（1）依題意，可知方程ax²+3x-1=0的兩個實數(shù)根為

1

2

和1，
∴

1

2

+1=-

3

a

且

1

2

×1=-

1

a

，解得a=-2，
∴a的值為-2；
（2）由（1）可知，不等式為-2x²-3x+5＞，即2x²+3x-5＜0，
∵方程2x²+3x-5=0的兩根為x₁=1，x₂=-

5

2

，
∴不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集為{x|-

5

2

＜x＜1}．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，要注意一元二次不等式和一元二次方程以及一元二次函數(shù)之間的聯(lián)系，注意根與方程系數(shù)之間的關(guān)系一般運用韋達(dá)定理進(jìn)行解決．屬于基礎(chǔ)題．