Question

14．如圖，平行四邊形ABCD，點(diǎn)E、F分別是DC，BC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$-$μ\overrightarrow{AF}$，則λ+μ=0．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，用$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{DC}$表示出$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$，根據(jù)$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$-$μ\overrightarrow{AF}$列出方程組，求出λ與μ的值即可．

解答 解：平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是DC，BC的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$；
∴$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$-$μ\overrightarrow{AF}$
=λ（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$）-μ（$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）
=（λ-$\frac{1}{2}$μ）$\overrightarrow{AD}$+（$\frac{1}{2}$λ-μ）$\overrightarrow{DC}$，
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{2}μ=1}\\{\frac{1}{2}λ-μ=1}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{2}{3}$，μ=-$\frac{2}{3}$，
∴λ+μ=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性表示與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了向量相等與方程組的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．