Question

某生產流水線，由于改進了設備，預計第一年產量的增長率為160％，以后每年的增長率是前一年的一半．設原來的產量是a．

(Ⅰ)寫出改進設備后的第一年，第二年，第三年的產量，并寫出第n年與第n－1年(n≥2，n∈N)的產量之間的關系式；

(Ⅱ)由于設備不斷老化，估計每年將損失年產量的5％，如此下去，以后每年的產量是否始終是逐年提高？若是，請給予證明；若不是；請說明從第幾年起，產量將比上一年減少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設第n年的產量為an，則　　a1＝a(1＋160％)， 　　a2＝a(1＋160％)(1＋80％)，　　a3＝a(1＋160％)(1＋80％)(1＋40％)， 　　…… 　　即a1＝a，a＝a，a3＝a． 　　∴an＝an－1(1＋×160％)＝an－1(1＋×)(n≥2，n∈N)． 　　(Ⅱ)依題意，an＝an－1(1＋×)(1－5％)． 　　若以后每年的產量逐年減少，即an＜an－1，也即(1＋×)(1－5％)＜1． 　　∴1＋×＜，即2n－4＞．　　但22＞，21＜，且n≥2，n∈N， 　　∴當n－4≥2，即n≥6時，an＜an－1 　　故從第6年起，產量比上一年減少．