Question

設(shè)an=

1•2

+

2•3

+…+

n(n+1)

(n=1，2…)，
（1）證明不等式

n(n+1)

2

＜an＜

(n+1)2

2

對(duì)所有的正整數(shù)n都成立；
（2）設(shè)bn=

an

n(n+1)

(n=1，2…)，用定義證明

lim

n→∞

bn=

1

2

.

Answer 1

證：（1）由不等式k＜

k(k+1)

＜

k+(k+1)

2

=

2k+1

2

對(duì)所有正整數(shù)k成立，把它對(duì)k從1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜a_n＜

3

2

+

5

2

+…+

2n+1

2

又因1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，以及

3

2

+

5

2

+…+

2n+1

2

＜

1

2

[1+3+5+…+（2n+1）]=

(n+1)2

2

，
因此不等式

n(n+1)

2

＜an＜

(n+1)2

2

.
對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．
（2）由（1）及b_n的定義知

1

2

＜bn＜

n+1

2n

=

1

2

+

1

2n

，于是|bn-

1

2

|=bn-

1

2

＜

1

2n

對(duì)任意指定的正數(shù)ε，要使|bn-

1

2

|＜ε，
只要使

1

2n

＜ε，即只要使n＞

1

2ε

.
取N是

1

2ε

的整數(shù)部分，則數(shù)列b_n的第N項(xiàng)以后所有的項(xiàng)都滿足|bn-

1

2

|＜ε
根據(jù)極限的定義，證得

lim

n→∞

bn=

1

2

.