Question

本小題滿分12分）設M是由滿足下列條件的函數(shù)f (x)構(gòu)成的集合：①方程f (x)一x=0有實根；②函數(shù)的導數(shù)滿足0＜＜1.

(1)若函數(shù)f(x)為集合M中的任意一個元素，證明：方程f(x)一x=0只有一個實根；

（2）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

(3)設函數(shù)f(x)為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意，

證明：

 

Answer 1

【答案】

(1)令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù),

所以，方程，即至多有一解，又由題設①知方程有實數(shù)根，所以，方程有且只有一個實數(shù)根；(2)；(Ⅲ)不妨設，∵,∴單調(diào)遞增，∴,即，

令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù)，

∴,即，

∴，則有

【解析】

試題分析：令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù),

所以，方程，即至多有一解，

又由題設①知方程有實數(shù)根，

所以，方程有且只有一個實數(shù)根…………………………………..4分

(2)易知，，滿足條件②；

令，

則，…………………………………..7分

又在區(qū)間上連續(xù)，所以在上存在零點，

即方程有實數(shù)根，故滿足條件①，

綜上可知，……………………………………8分

(Ⅲ)不妨設，∵,∴單調(diào)遞增，

∴,即，

令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù)，

∴,即，

∴，則有….……………..….12分

考點：本題考查了導數(shù)的運用

點評：近幾年新課標高考對于函數(shù)與導數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對數(shù)）函數(shù)的組合復合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數(shù)單調(diào)性、導數(shù)運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數(shù)學思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數(shù)學運算的“力量”與數(shù)學思維的“技巧”完美結(jié)合.