Question

20．已知$sinα+cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且$\frac{5π}{4}＜α＜\frac{3π}{2}$，則cosα-sinα的值為（　�。�

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $-\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用平方法求出cosαsinα的值，根據(jù)$\frac{5π}{4}＜α＜\frac{3π}{2}$判斷cosα-sinα的值的正負(fù)．在利用平方后開方可得答案．

解答 解：$sinα+cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
即（cosα+sinα）²=1+2cosαsinα=$\frac{5}{4}$，
∴cosαsinα=$\frac{1}{8}$．
∵$\frac{5π}{4}＜α＜\frac{3π}{2}$，
∴cosα-sinα=M＞0．
則（cosα-sinα）²=M²，
∴1-2cosαsinα=M²
可得：M²=$\frac{3}{4}$，
∵M(jìn)＞0，
∴M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即cosα-sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了正余弦函數(shù)在象限的判斷和同角三角函數(shù)關(guān)系式的計(jì)算．