Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x+1}{x^2}，g（x）={log_2}x+m$，若對(duì)?x₁∈[1，2]，?x₂[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂），則m的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）和g（x）的最小值，令f_min（x）≥g_min（x），即可得出m的范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x（x+1）}{{x}^{4}}$=$\frac{-x（x+2）}{{x}^{4}}$，
∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
又g（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（2）=$\frac{3}{4}$，g_min（x）=g（1）=m，
∵對(duì)?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂），
∴f_min（x）≥g_min（x），即m≤$\frac{3}{4}$，
故答案為：（-∞，$\frac{3}{4}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)存在性問題研究，屬于中檔題．