Question

（文科）已知如圖，在三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面的投影H是△ABC的垂心．
（Ⅰ）證明：PA⊥BC；
（Ⅱ）若PB=PC，BC=2，且二面角P-BC-A度數(shù)為60°，求三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AH，并延長(zhǎng)交BC于D，連接BH，并延長(zhǎng)交AC于E，連接PD，證明H是△ABC的垂心，BC⊥面PAD，即可證明：PA⊥BC；
（Ⅱ）證明AB=AC，△ABD∽△BHD，求出△PAD的面積，即可求三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC的值．

解答： （Ⅰ）證明：連接AH，并延長(zhǎng)交BC于D，連接BH，并延長(zhǎng)交AC于E，連接PD，
由PH⊥面ABC，得PH⊥BC，
又H是△ABC的垂心，可得AD⊥BC，而PH∩AD=H，
則BC⊥面PAD，所以PA⊥BC；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥面PAD，則BC⊥PD，
所以∠PDA為二面角P-BC-A的平面角，則有∠PDA=60°
由BC⊥PD，PB=PC，可知BD=DC，
又BC⊥AD，所以AB=AC
在△ABC中，因?yàn)镠是垂心，由平面幾何可知△ABD∽△BHD，
所以

AD

BD

=

BD

DH

，⇒AD•DH=BD2=1，則S△PAD=

1

2

AD•PH=

1

2

AD•DH•tan60°=

3

2

，
所以VP-ABC=

1

3

S△PAD•BC=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、線線垂直，考查三棱錐P-ABC的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度中等．