Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P為A₁C₁的中點，AB=BC=kPA．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時，求證PA⊥B₁C；
（Ⅱ）當(dāng)k為何值時，直線PA與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值為

1

4

，并求此時二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以點B為坐標(biāo)原點，分別以直線BA、BC、BB₁為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)AB=2，欲證PA⊥B₁C，只需它們對應(yīng)的坐標(biāo)，計算它們的數(shù)量積，使數(shù)量積為零即可；
（II）先求出平面B₁C的一個法向量，先求直線PA與法向量的夾角的余弦值然后得到直線與平面所成角的正弦值，可求出k的值，最后求出平面BPC的一個法向量，根據(jù)兩法向量的夾角的余弦值求出二面角A-PC-B的余弦值．

解答：解：以點B為坐標(biāo)原點，分別以直線BA、BC、BB₁為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．
（I）設(shè)AB=2，則AB=BC=PA=2
根據(jù)題意得：A(2，0，0)，c(0，2，0)，B1(0，0，

2

)，P(1，1，

2

)
所以

.

AP

=(-1.1，

2

)，

.

B1C

=(0，2，-

2

)．
∵

AP

•

B1C

=0+2-2=0，∴PA⊥B₁C．
（II）設(shè)AB=2，則AP=

2

k

，
根據(jù)題意：A（2，0，0），C（0，2，0），
又因為A1P=

1

2

A1C1=

2

，
所以AA1=

AP2-A1P2

=

4 k2 -2

，
∴B1(0，0，

4 k2 -2

)，
∴P(1，1，

4 k2 -2

)

AP

=(-1，1，

4 k2 -2

)，
∵AB⊥平面B₁C，
所以由題意得|cos＜

AP

，

AB

＞|=

1

4

，
即|

AP • AB

| AP |•| AB |

|=

1

4

，即

2

1+1+ 4 k2 -2 •2

=

1

4

，
∵k＞0，解得k=

1

2

．
即k=

1

2

時，直線PA與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值為

1

4

．（8分）
∵B₁P⊥面APC，∴平面APC的法向量

B1P

=(1，0，0)．
設(shè)平面BPC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

BC

=(0，2，0)，

BP

(1，1，

14

)
由

BC • n = 0 BP •n=0

，得

2y=0 x+y+ 14 z=0

，
∴cos＜

n

，

B1P

＞=|

n • B1P

| n || B1P |

=|

14

15 × 2

|=

105

15

所以此時二面角A-PC-B的余弦值是

105

15

．（12分）

點評：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，以及利用向量法度量二面角的大小，屬于基礎(chǔ)題．