Question

5．高二一班有A，B兩個社會實踐活動小組，每組七個人，現(xiàn)從每組中各選出一個人分別完成一項手工作品，每位成員完成作品所需要的時間（單位：小時）如下所示
A組：10，11，12，13，14，15，16；
B組：12，13，15，16，17，14，a
假設A、B兩組每位成員被選出的可能性均等，從A組選出的人記為甲，從B組選出的人記為乙
（1）如果a=18，求甲所用時間比乙所用時間長的概率；
（2）如果a=14，設甲與乙所用時間都低于15，記甲與乙的所用時間的差的絕對值為X，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）當a=18時，基本事件總數(shù)n=7×7=49，利用列舉法求出甲所用時間a比乙所用時間b長包含的基本事件（a，b）的個數(shù)，由此能求出甲所用時間比乙所用時間長的概率．
（2）a=14，設甲與乙的康復時間都低于15，甲的康復時間與乙的康復時間的差的絕對值為X，由題意X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）當a=18時，A、B兩組每位成員被選出的可能性均等，從A組選出的人記為甲，從B組選出的人記為乙，
基本事件總數(shù)n=7×7=49，
甲所用時間a比乙所用時間b長包含的基本事件（a，b）有：
（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），（16，12），（16，13），（16，15），共8個，
∴甲所用時間比乙所用時間長的概率p=$\frac{8}{49}$．
（2）∵a=14，設甲與乙的康復時間都低于15，
甲的康復時間與乙的康復時間的差的絕對值為X，
∴X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{5}+\frac{1}{4}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
P（X=3）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=4）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{10}$

EX=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{3}{20}+4×\frac{1}{10}$=$\frac{33}{20}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題．