Question

設(shè)點P（m，n）在圓x²+y²=2上，l是過點P的圓的切線，切線l與函數(shù)y=x²+x+k（k∈R）的圖象交于A，B兩點，點O是坐標原點．
（1）當k=-2，m=-1，n=-1時，判斷△OAB的形狀；
（2）△OAB是以AB為底的等腰三角形；
①試求出P點縱坐標n滿足的等量關(guān)系；
②若將①中的等量關(guān)系右邊化為零，左邊關(guān)于n的代數(shù)式可表為（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，且滿足條件的等腰三角形有3個，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)k=-2，m=-1，n=-1，以及切線l：-x-y=2，分別得到一個等式，通過兩個等式聯(lián)立解方程組求出兩組解，此時即可表示出兩個點A，B的坐標，然后分別根據(jù)

OA

•

OB

=0，|

OA

|=|

OB

|=2.垂直與腰相等兩個關(guān)系判斷出△OAB是等腰直角三角形
（2） ①寫出過P的切線，然后分別設(shè)出A，B兩個點的坐標．根據(jù)是已知題意列出3個等式，然后解出結(jié)果..通過P點縱坐標為n，代入P中求出n的等量關(guān)系．
    ②按照①的結(jié)果，通過把等量關(guān)系右邊化為零，左邊關(guān)于n的代數(shù)式表示為（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，化簡．然后根據(jù)滿足條件的等腰三角形有3個，分別判斷△＞0是否成立．經(jīng)過計算分別求出K的取值范圍即可．

解答：解：①當k=-2，m=-1，n=-1，
   時y=x²+x-2．
  切線l：-x-y=2，即x+y+2=0．
  由

y=x2+x-2 x+y+2=0

，
  得x²+2x=0，
∴x₁=0，x₂=-2．
  A（0，-2），B（-2，0）．
∵

OA

•

OB

=0，|

OA

|=|

OB

|=2.
∴△OAB是等腰直角三角形

②△OAB是以AB為底的等腰三角形?P是AB的中點．
過P點的切線：mx+ny=2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y1= x 2 1 +x1+k(1) y2= x 2 2 +x2+k(2) x1+x2=2m(3)

（2）-（1）
y₂-y₁=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+x₂-x₁

y2-y1

x2-x1

=(x2+x1)+1?-

m

n

=2m+1，
m=

-n

2n+1

.
∵m2+n2=2，∴(-

n

2n+1

)2+n2=2
4n⁴+4n³-6n²-8n-2=0
即2n⁴+2n³-3n²-4n-1=0．
由已知，2n⁴+2n³-3n²-4n-1
=（n+1）²（an²+bn+c）=（n²+2n+1）（an²+bn+c）
=an⁴+（b+2a）n³+（c+a+2b）n²+（2c+b）n+c
?

a=2 b+2a=2 c+a+2b=-3 b+2c=-4 c=-1

，
即∴

a=2 b=-2 c=-1

由2n⁴+2n³-3n²-4n-1=（n+1）²（2n²-2n-1）=0
∴n+1=0或2n²-2n-1=0，
n=-1或n=

1± 3

2

∴

m=-1 n=-1

或

m= - 3 +1 2 n= 1+ 3 2

或

m= 1+ 3 2 n= 1- 3 2

由

mx+ny=2 y=x2+x+k

得，
nx²+（m+n）x+nk-2=0
當

m=-1 n=-1

時，x2+2x+k+2=0.
△=4-4k-8＞0，k＜-1．
當

m= 1- 3 2 n= 1+ 3 2

時，

1+ 3

2

x2+x+

1+ 3

2

k-2=0
由△=1-4×

1+ 3

2

(

1+ 3

2

k-2)＞0?k＜

( 3 +7)( 3 -1)

4

當

m= 1+ 3 2 n= 1- 3 2

時，

1- 3

2

x2+x+

1- 3

2

k-2=0，
△=1-4×

1- 3

2

(

1- 3

2

k-2)＞0
(1-

3

)k＞

7- 3

2

，
k＜

7- 3

2(1- 3 )

=

(7- 3 )(1+ 3 )

-4

k＜-

4+6 3

4

=-1-

3 3

2

.
等腰三角形恰有3個等價于以上三個解都滿足△＞0，
故k∈(-∞，-1-

3 3

2

).

點評：本題考查直線與圓的關(guān)系的應(yīng)用，通過直線與圓相切，對關(guān)系式進行分析．然后通過圓與曲線兩個交點再進行分析．通過一系列的運算最終求出結(jié)果．本題另外一個側(cè)重點就是對運算的考查與一元二次方程判別式的考查．本題為難題．