Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
（1）當(dāng)c=1，且△ABC的面積為的值；
（2）當(dāng)的值．

Answer 1

解：（1）∵△ABC的面積為，b=a，
∴absinC=a•a•sinC=a²sinC=，
∴sinC=，（2分）
又c=1，b=a，
∴由余弦定理得：c²=1=a²+b²-2abcosC=a²+3a²-2a•acosC，即cosC=，（4分）
∵sin²C+cos²C=1，∴（）²+（）²=1，（6分）
整理得：（a²-1）²=0，即a²-1=0，
解得：a=1；（7分）
（2）∵b=a，cosC=，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+3a²-2a²=2a²，即c=a，（9分）
又b=a，∴b²=a²+c²，∴B=90°，（11分）
由b=a，sinB=1，
利用正弦定理得：sinB=sinA，即sinA=，（13分）
則cos（B-A）=cos（90°-A）=sinA=．（14分）
分析：（1）利用三角形的面積公式把表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及b=a代入，表示出sinC，再由c及b=a，利用余弦定理表示出cosC，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到sin²C+cos²C=1，將表示出的sinC和cosC代入，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）由b=a及cosC的值，利用余弦定理得到c=a，可得出b²=a²+c²，根據(jù)勾股定理的逆定理可得出三角形為直角三角形，B為直角，進(jìn)而確定出sinB=1，再利用正弦定理化簡(jiǎn)b=a，將sinB的值代入求出sinA的值，將B的度數(shù)代入所求的式子中，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到所求式子等于sinA的值，由sinA的值即可得到所求式子的值．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，勾股定理的逆定理，以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．