Question

簡答題 如圖，點A、B分別是橢圓的長軸的左、右端點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，直線PF的方程為且PA⊥PF． (1) 求直線PA方程； (2) 設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于│MB│，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：由題意知A(－6，0)…………1分 ∵PA⊥PF，直線PF的方程為x＋y－3＝0 ∴直線PA的斜率為k＝…………3分 ∴直線PA的方程為y＝(x＋6) 即x－3y＋6＝0即x－y＋6＝0…………5分

(2)

解：設(shè)M(m，0)，(－6≤m≤6)，則M到PA的距離為， │MB│＝│6－m│ 依題意得＝│6－m│…………7分 ∵－6≤m≤6 ∴m＝2(或可通過方程兩邊平方求得m＝2) ∴M(2，0)…………9分 　　法1：設(shè)橢圓上的點(x，y)(x∈[－6，6])到M(2，0)的距離為d，則 d2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋20－x2…………11分 ＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝x2－4x＋24 ＝(x－)2＋15…………12分 ∵x∈[－6，6]，∴當x＝時，d2最小，此時d│min＝……13分 　　法2：設(shè)橢圓上的點(6cosθ，2sinθ)到M(2，0)的距離為d．則…10分 d2＝(6cosθ－2)2＋(2sinθ)2…………11分 ＝36cos2θ－24cosθ＋4＋20sin2θ ＝16cos2θ－24cosθ＋24 ＝16…………12分 ∵θ∈R∴當cosθ＝時，d2最小，此時d│min＝……13分