Question

（2013•淄博二模）等比數(shù)列{c_n}滿足cn+1+cn=10•4n-1(n∈N*)，數(shù)列{an}的前n項和為S_n，且a_n=log₂c_n．
（I）求a_n，S_n；
（II）數(shù)列{bn}滿足bn=

1

4Sn-1

，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，是否存在正整數(shù)m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可求，c₁+c₂，c₂+c₃，從而可求公比q，及c₁，結合等比數(shù)列的通項公式可求c_n，進而可求a_n，結合等差數(shù)列的求和公式可求s_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項可求T_n，然后結合等比數(shù)列的性質(zhì)可求滿足條件的m，k

解答：解：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，所以公比q=4…（2分）
∴c₁+c₂=c₁+4c₁=10得c₁=2
∴cn=2•4n-1=22n-1…（4分）
所以an=log222n-1=2n-1…（5分）
由等差數(shù)列的求和公式可得，Sn=

n(a 1+an)

2

=

n[1+(2n-1)]

2

=n2…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
于是Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

…（9分）
假設存在正整數(shù)m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比數(shù)列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

×

k

2k+1

，
可得

3

k

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，所以-2m²+4m+1＞0
從而有，1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，
由m∈N^*，m＞1，得m=2…（11分）
此時k=12．
當且僅當m=2，k=12時，T₁，T_m，T_k成等比數(shù)列．…（12分）

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式的簡單應用，數(shù)列的裂項求和方法的應用．