已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
x(1+λx)
1+x

(I)若x≥0時,f(x)≤0,求λ的最小值;
(II)設數(shù)列{an}的通項an=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,證明:a2n-an+
1
4n
>ln2
分析:(I)由于已知函數(shù)的最大值是0,故可先求出函數(shù)的導數(shù),研究其單調(diào)性,確定出函數(shù)的最大值,利用最大值小于等于0求出參數(shù)λ的取值范圍,即可求得其最小值;
(II)根據(jù)(I)的證明,可取λ=
1
2
,由于x>0時,f(x)<0得出
x(2+x)
2+2x
>ln(1+x)
,考察發(fā)現(xiàn),若取x=
1
k
,則可得出
2k+1
2k(k+1)
>ln(
k+1
k
)
,以此為依據(jù),利用放縮法,即可得到結(jié)論
解答:解:(I)由已知,f(0)=0,f′(x)=
(1-2λ)x-λx2
(1+x)2
,且f′(0)=0…3分
若λ<
1
2
,則當0<x<2(1-2λ)時,f′(x)>0,所以當0<x<2(1-2λ)時,f(x)>0,
若λ≥
1
2
,則當x>0時,f′(x)<0,所以當x>0時,f(x)<0
綜上,λ的最小值為
1
2
…6分
( II)令λ=
1
2
,由(I)知,當x>0時,f(x)<0,即
x(2+x)
2+2x
>ln(1+x)

取x=
1
k
,則
2k+1
2k(k+1)
>ln(
k+1
k
)
…9分
于是a2n-an+
1
4n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
+
1
4n

=
1
2(n+1)
+
1
2(n+1)
+
1
2(n+2)
+
1
2(n+2)
+
1
2(n+1)
+…+
1
4n
+
1
4n
+
1
4n

=
1
2n
+
1
2(n+1)
+
1
2(n+1)
+
1
2(n+2)
+
1
2(n+2)
+
1
2(n+1)
+…+
1
4n

=
2n-1
k=n
(
1
2k
+
1
2(k+1)
)

=
2n-1
k=n
2k+1
2k(k+1)
2n-1
k=n
ln(
k+1
k
)
=ln2n-lnn=ln2
所以a2n-an+
1
4n
>ln2
…12分
點評:本題考查了數(shù)列中證明不等式的方法及導數(shù)求最值的普通方法,解題的關鍵是充分利用已有的結(jié)論再結(jié)合放縮法,本題考查了推理判斷的能力及轉(zhuǎn)化化歸的思想,有一定的難度
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1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

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f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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1
2
x2-alnx
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1
e
,e]
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12
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13
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32
ax2+b
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(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數(shù).

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