Question

18．已知函數(shù)y=2sin²x+mcosx-$\frac{1}{8}$．
（1）當(dāng)m=-1且-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{2π}{3}$時(shí)，求函數(shù)值域；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，試討論函數(shù)最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=-1時(shí)y=-2（cosx+$\frac{1}{4}$）²+2，由-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{2π}{3}$可得-$\frac{1}{2}$≤cosx≤1，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（2）可得y=-2（cosx-$\frac{m}{4}$）²+$\frac{{m}^{2}+15}{8}$，cosx∈[-1，1]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值分類討論可得．

解答 解：（1）當(dāng)m=-1時(shí)，y=2sin²x+mcosx-$\frac{1}{8}$
=2sin²x-cosx-$\frac{1}{8}$=2（1-cos²x）-cosx-$\frac{1}{8}$
=-2cos²x-cosx+$\frac{15}{8}$=-2（cosx+$\frac{1}{4}$）²+2
∵-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{2π}{3}$，∴-$\frac{1}{2}$≤cosx≤1，
由二次函數(shù)可知當(dāng)cosx=-$\frac{1}{4}$時(shí)，y取最大值2，
當(dāng)cosx=1時(shí)，y取最小值-$\frac{9}{8}$，
故函數(shù)的值域?yàn)椋篬-$\frac{9}{8}$，1]；
（2）配方可得y=-2cos²x+mcosx+$\frac{15}{8}$=-2（cosx-$\frac{m}{4}$）²+$\frac{{m}^{2}+15}{8}$，
∵x∈R，∴cosx∈[-1，1]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可知：
當(dāng)$\frac{m}{4}$＜-1即m＜-4時(shí)，在cosx=-1時(shí)，y取最大值-m-$\frac{1}{8}$；
當(dāng)$\frac{m}{4}$＞1即m＞4時(shí)，在cosx=1時(shí)，y取最大值m-$\frac{1}{8}$；
當(dāng)-1≤$\frac{m}{4}$≤1即-4≤m≤4時(shí)，在cosx=$\frac{m}{4}$時(shí)，y取最大值$\frac{{m}^{2}+15}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值和分類討論思想，屬中檔題．