函數(shù)f（x）=ax2+bx（a，b是常數(shù)且a≠0）滿足條件：f（2）=0，方程f（x）=x 有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）問：是否存在實(shí)數(shù)m，n使得f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出m，n的值；如不存在，說明理由．
分析：（1）由f（2）=0得：4a+2b=0．再根據(jù)方程有等根，可得△=（b-1）2=0，可得b=1，解方程組求得a，b的值，
即可得到f（x）的解析式．
（2）由于f（x）=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
≤
1
2
，可得 2n≤
1
2
，即 n≤
1
4
，可得函數(shù)f（x）在[m，n]上
是增函數(shù)．再由函數(shù)的值域?yàn)閇2m，2n]，求得m，n的值．
解答：解：（1）f（2）=0得：4a+2b=0． 方程f（x）=x，即ax2+（b-1）x=0．
由此方程有等根，可得△=（b-1）2=0，可得b=1．------（2分）
解方程組
4a+2b=0
(b-1)2=0
，可得
a=-
1
2
b=1
，-----（4分）
∴f（x）=-
1
2
x2+x．------（5分）
（2）由于f（x）=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
≤
1
2
，------（2分）
∴2n≤
1
2
，∴n≤
1
4
，∴函數(shù)f（x）在[m，n]上是增函數(shù)．------（5分）
∴
f(m)=-
1
2
m2+m=2m
f(n)=-
1
2
n2 +n=2n
，解得m=-2，n=0．
故存在實(shí)數(shù)m=-2，n=0，滿足條件．-----（7分）
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a，b是常數(shù)，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，3]時，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點(diǎn)（0，2a+3），且在x=1處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當(dāng)bc取得最大值時，寫出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，g（x）滿足
43
f(x)-6=（x-2）g（x）（x＞2），求g（x）的最大值及相應(yīng)x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=
1
4
時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：(1+
2
2×3
)×(1+
4
3×5
)×(1+
8
5×9
)…(1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
)＜e（其中，n∈N*，e是自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)數(shù)a，b，c（a≠0）滿足
a
m+2
+
b
m+1
+
c
m
=0(m＞0)，對于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，af(
m
m+1
)與0的大小關(guān)系是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)），x∈R，F(x)=
f(x)(x＞0)
-f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）能否大于零．

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