已知函數(shù)f(x)=lnx-
12
ax2
+bx(a>0)且f′(1)=0,
(1)試用含a的式子表示b,并求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2)(0<x1<x2)為函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn),G(x0,y0)為AB的中點(diǎn),記AB兩點(diǎn)連線斜率為K,證明:f′(x0)≠K.
分析:(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域,根據(jù)f(x)的解析式求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),利用f′(1)=0,代入導(dǎo)函數(shù)化簡即可得到a與b的關(guān)系式,用a表示出b;然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間;
(2)因?yàn)锳與B在函數(shù)圖象上,所以把A和B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式中得到關(guān)于兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的兩個(gè)關(guān)系式,利用斜率的算法表示出斜率k,然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式根據(jù)A和B的橫坐標(biāo)表示出中點(diǎn)G的橫坐標(biāo),并把求出的G橫坐標(biāo)的值代入導(dǎo)函數(shù),利用反證法證明,方法是:假設(shè)表示出的斜率k等于G的橫坐標(biāo)在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值,化簡后令t=
x1
x2
,u(t)=lnt-
2t-2
t+1
,求出u(t)的導(dǎo)函數(shù),判斷出導(dǎo)函數(shù)大于0得到u(t)為增函數(shù),得到u(t)小于0與題意矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤,故f′(x0)≠k.
解答:解:(1)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
∵f′(x)=
1
x
-ax+b=0
,
∴b=a-1,∴f′(x)=
1
x
-ax+a-1=-
(ax+1)(x-1)
x

當(dāng)f′(x)>0時(shí),得-
(ax+1)(x-1)
x
>0

∵x>0,a>0,解得0<x<1,
當(dāng)f′(x)<0時(shí),得-
(ax+1)(x-1)
x
<0
,∵x>0,a>0,解得x>1,
;∴當(dāng)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;

(2)因A、B在f(x)=lnx-
1
2
ax2+bx(a>0)
的圖象上,
y1=lnx1-
1
2
ax12+(a-1)x1,y2=lnx2-
1
2
ax22+(a-1)x2
,
K=
y2-y2
x2-x1
=
lnx2-lnx1
x2-x1
-
1
2
a(x2+x2)+a-1
,
x0=
x2+x1
2
,f′(x)=
1
x
-ax+a-1

f′(x0)=
2
x2+x2
-a•
x2+x2
2
+a-1
,
假設(shè)k=f′(x0),則得:
lnx2-lnx1
x2-x1
-
1
2
a(x2+x2)+a-1=
2
x2+x2
-a•
x2+x2
2
+a-1
,
lnx2-lnx1
x2-x1
=
2
x1+x2

ln
x1
x2
=
2
x1
x2
-2
x1
x2
+1
,令t=
x1
x2
,u(t)=lnt-
2t-2
t+1
(0<t<1)
,
u′(t)=
(t-1)2
t(t+1)2
>0
,
∴u(t)在(0,1)上是增函數(shù),∴u(t)<u(1)=0,
lnt-
2t-2
t+1
<0
,所以假設(shè)k=f′(x0)不成立,
故f′(x0)≠k.
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡求值,掌握反證法進(jìn)行命題證明的方法,是一道綜合題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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