Question

如圖，某市擬在道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段ABC，該曲線段為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，

π

2

＜φ＜π），x∈[-3，0]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B（-1，3

2

）；賽道的中間部分為

3

千米的水平跑到CD；賽道的后一部分為以O(shè)圓心的一段圓弧

DE

．
（1）求ω，φ的值和∠DOE的值；
（2）若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，如圖所示，矩形的一邊在道路AE上，一個(gè)頂點(diǎn)在扇形半徑OD上．記∠POE=θ，求當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)θ的值．

Answer 1

分析：1）依題意，得A=3

2

，

T

4

=2，根據(jù)周期公式T=

2π

w

可得ω=

π

4

，把B（-1，3

2

）代入結(jié)合已知

π

2

＜φ＜π可得φ，又x=0時(shí)，y=OC=3，因?yàn)镃D=

3

從而可得∠COD=

π

6

，可求∠DOE=

π

3

．
（2）由（1）可知OD=OP=2

3

，矩形草坪的面積S=（2

3

sinθ）2

3

cosθ+2sinθ=4

3

sin（2θ+

π

6

）-2

3

，有0＜θ＜

π

3

，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）依題意，得A=3

2

，

T

4

=2，因?yàn)門(mén)=

2π

w

，所以ω=

π

4

，所以y=3

2

sin（

π

4

x+φ）．
當(dāng)x=-1時(shí)，3

2

sin（-

π

4

+φ）=3

2

，由

π

2

＜φ＜π，得-

π

4

+φ=

π

2

，所以φ=

3π

4

．
又x=0時(shí)，y=OC=3，因?yàn)镃D=

3

，所以∠COD=

π

6

，從而∠DOE=

π

3

．
（2）由（1）可知OD=OP=2

3

，矩形草坪的面積
S=（2

3

sinθ）（2

3

cosθ-2sinθ）=4

3

（

3

sinθcosθ-sin²θ）
=4

3

（

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ-

1

2

）=4

3

sin（2θ+

π

6

）-2

3

，
其中0＜θ＜

π

3

，所以當(dāng)2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

時(shí)，S最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數(shù)的解析式，一般步驟是：由函數(shù)的最值確定A的值，由函數(shù)所過(guò)的特殊點(diǎn)確定周期T，利用周期公式求ω，再把函數(shù)所給的點(diǎn)（一般用最值點(diǎn)）的坐標(biāo)代入求φ，從而求出函數(shù)的解析式；還考查了實(shí)際問(wèn)題中的最值的求解．關(guān)鍵是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)求解．