Question

若等邊三角形ABC的邊長為2

3

，該三角形所在平面內(nèi)一點M滿足

CM

=

1

6

CB

+

2

3

CA

，則

MA

•

MB

等于（　　）

A．-2

B．-1

C．1

D．2

Answer 1

分析：根據(jù)等邊△ABC邊長是2

3

，算出

CA

•

CB

=6．再由向量的線性運算，將

MA

、

MB

分別表示成

CA

、

CB

的組合，最后根據(jù)向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，將

MA

•

MB

展開表示成

CA

2、

CB

2和

CA

•

CB

的式子，代入題中的數(shù)據(jù)即可得到

MA

與

MB

的數(shù)量積．

解答：解：∵等邊三角形ABC的邊長為2

3

，
∴

CA

•

CB

=|

CA

|•|

CB

|cos60°=6
∵

CM

=

1

6

CB

+

2

3

CA

∴

MA

=

CA

-

CM

=

CA

-（

1

6

CB

+

2

3

CA

）=

1

3

CA

-

1

6

CB

MB

=

CB

-

CM

=

CB

-（

1

6

CB

+

2

3

CA

）=-

2

3

CA

+

5

6

CB

因此，

MA

•

MB

=（

1

3

CA

-

1

6

CB

）（-

2

3

CA

+

5

6

CB

）=-

2

9

CA

2+

7

18

CA

•

CB

-

5

36

CB

2
代入前面的數(shù)據(jù)，可得

MA

•

MB

=-

2

9

×12+

7

18

×6-

5

36

×12=-2
故選：A

點評：本題在正三角形中，求兩個向量的數(shù)量積，著重考查了正三角形的性質(zhì)、向量的線性運算和向量數(shù)量積的運算性質(zhì)等知識，屬于基礎題．