Question

如圖，在四邊形ABCD中，CA=CD=AB=1，=1，sin∠BCD=．
（1）求BC的長；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）求sinD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可分別求得AC，CD和AB，利用=1，利用向量的數(shù)量積的性質求得cos∠BAC的值，進而求得∠BAC，進而利用余弦定理求得BC的長．
（2）根據(jù)（1）可求得BC²+AC²=AB²．判斷出∴∠ACB=，進而在直角三角形中求得cos∠ACD的值，利用同角三角函數(shù)的基本關系氣的sin∠ACD，然后利用三角形面積公式求得三角形ABC和ACD的面積，二者相加即可求得答案．
（3）在△ACD中利用余弦定理求得AD的長，最后利用正弦定理求得sinD的值．
解答：解：（1）由條件，得AC=CD=1，AB=2．
∵=1，∴1×2×cos∠BAC=1．則cos∠BAC=．
∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC=．
∴BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=4+1-2×2×=3．
∴BC=．
（2）由（1）得BC²+AC²=AB²．
∴∠ACB=．
∴sin∠BCD==．
∵∠ACD∈∈（0，π），∴．
∴S_△ACD=×1×1×=．
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=．
（3）在△ACD中，
AD²=AC²+DC²-2AC•DCcos∠ACD=1+1-2×1×1×=．
∴AD=．
∵，
∴．
點評：本題主要考查了解三角形的實際應用，正弦定理和余弦定理的應用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．