已知函數(shù)f（x）=2
3
sinx-2cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值，及相應(yīng)的x的取值集合；
（Ⅱ）若f（x）=0，求
2cos2
x
2
-sinx-1
2
sin(x+
π
4
)
的值．
分析：（Ⅰ）利用輔助角公式可求得f（x）=4sin（x-
π
6
），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得f（x）的最大值和最小值，及相應(yīng)的x的取值集合；
（Ⅱ）由f（x）=0可求得x=kπ+
π
6
，k∈Z．化簡
2cos2
x
2
-sinx-1
2
sin(x+
π
4
)
為cot（
π
6
+
π
4
），利用兩角和的正切即可求得答案．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2
3
sinx-2cosx=4sin（x-
π
6
），
∴當(dāng)x-
π
6
=2kπ+
π
2
，即x=2kπ+
2π
3
，（k∈Z）時(shí)
f（x）有最大值，f（x）max=4，
∴f（x）有最大值時(shí)x的集合為{x|x=2kπ+
2π
3
，k∈Z}；
當(dāng)x-
π
6
=2kπ-
π
2
，即x=2kπ-
π
3
，（k∈Z）時(shí)
f（x）有最小值，f（x）min=-4；
∴f（x）有最小值時(shí)x的集合為{x|x=2kπ-
π
3
，k∈Z}；
（Ⅱ）∵f（x）=0，
∴4sin（x-
π
6
）=0，
∴x-
π
6
=kπ，
∴x=kπ+
π
6
，k∈Z．
∴
2cos2
x
2
-sinx-1
2
sin(x+
π
4
)

=
cosx-sinx
2
sin(x+
π
4
)

=
2
cos(x+
π
4
)
2
sin(x+
π
4
)

=
cos(kπ+
π
6
+
π
4
)
sin(kπ+
π
6
+
π
4
)

=cot（kπ+
π
6
+
π
4
）
=cot（
π
6
+
π
4
）
=
1-
3
3
×1
3
3
+1
=2-
3
．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查正弦函數(shù)的最值，考查兩角和的正切，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=2-
1
x
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選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5，若函數(shù)f（x）的最小值為m
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
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