Question

4．已知三角形中，a，b，c分別為A，B，C的對邊，已知tanA+tanB=$\sqrt{3}$tanAtanB-$\sqrt{3}$，c=3$\sqrt{2}$，又三角形ABC面積為S=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 根據(jù)兩角和的正切公式計算tan（A+B），得出C，根據(jù)面積求出ab，利用余弦定理解出a+b．

解答 解：在△ABC中，∵tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}tanAtanB-\sqrt{3}}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$．
又0＜A+B＜π，∴A+B=$\frac{2π}{3}$．
∴C=π-A-B=$\frac{π}{3}$．
∵S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}ab}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴ab=6．
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（a+b）²-12．
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-30}{12}=\frac{1}{2}$．
∴a+b=6．

點評 本題考查了兩角和差的正切函數(shù)，余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題．