Question

設函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）．
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點，試求出a關于b的關系式（用a表示b），并確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設a＞0，函數(shù)g（x）=（a²+14）e^x+4．若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=[x²+（2+a）x+（a+b）]e^x---（1分）
且x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點∴f'（1）=0------（2分）
即e[1+（2+a）+（a+b）]=0，解得b=-3-2a---（3分）
則f′（x）=e^x[x²+（2+a）x+（-3-a）]=e^x（x-1）[x+（3+a）]
令f′（x）=0，得x₁=1或x₂=-3-a-------（4分）
∵x=1是極值點，∴-3-a≠1，即a≠-4
當-3-a＞1即a＜-4時，由f′（x）＞0得x∈（-3-a，+∞）或x∈（-∞，1）
由f'（x）＜0得x∈（1，-3-a）------（5分）
當-3-a＜1即a＞-4時，由f′（x）＞0得x∈（1，+∞）或x∈（-∞，-3-a）
由f′（x）＜0得x∈（-3-a，1）--------（6分）
綜上可知：當a＜-4時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和（-3-a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，-3-a）；當a＞-4時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3-a）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-3-a，1）-----（8分）
（Ⅱ）由（1）知，當a＞0時，f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最小值為f（1）=-（a+2）e----（9分）
又∵f（0）=be^x=-（2a+3）＜0，f（4）=（2a+13）e⁴＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[f（1），f（4）]，即[-（a+2）e，（2a+13）e⁴]---（11分）
又g（x）=（a²+14）e^x+4在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[（a²+14）e⁴，（a²+14）e⁸]------（12分）
∵（a²+14）e⁴-（2a+13）e⁴=（a²-2a+1）e⁴=（a-1）²e⁴≥0，
∴存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立只須僅須（a²+14）e⁴-（2a+13）e⁴＜1．----（14分）
分析：（Ⅰ）據(jù)極值點處的導函數(shù)值為0得到a，b的關系；代入導函數(shù)中求出導函數(shù)的兩根，討論兩根的大��；判斷根左右兩邊導函數(shù)的符號，據(jù)導函數(shù)與單調(diào)性的關系求出單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出兩根函數(shù)的值域，求出函數(shù)值的最小距離，最小距離小于1求出a的范圍
點評：本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的極值：極值點處的值為0；研究函數(shù)的單調(diào)性：導數(shù)大于0對應區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，導數(shù)小于0對應區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間；將存在性問題轉(zhuǎn)化成最值問題．