Question

已知等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}，且a1＝b1，a2＝b2，a1≠a2，an＞0(n∈N*)． (1) 試比較a3與b3，a4與b4的大小，并猜想an與bn(n≥3)的大小關(guān)系 (2) 論證你猜想結(jié)果的正確性

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：設(shè)a1＝b1＝a，｛an｝公差為d，｛bn｝公比為q，由a2＝b2得a＋b＝aq．① 　　∵an＞0，a1≠a2，∴d＞0． 　　由①得d＝a(q－1)②，∴q＞1 ③，∴b3－a3＝aq2－(a＋2d)＝aq2－a－2a(q－1)＝a(1－1)2 　　∵a＞0，q＞1，，∴b3＞a3． 　　而b4－a4＝aq3－(a＋3d) 　　　　　�。絘q3－3a(q－1) 　　　　　�。絘［(q－1)(q2＋q＋1)－3(q－1)］ 　　　　　　＝a(q－1)(q2＋q＋1) 　　　　　�。絘(q－1)2(q＋2)， 　　又∵a＞0，q＞1，∴b4＞a4．猜想bn＞an(n≥3)． 　　分析：由a3、a1與b3、b1的大小關(guān)系探求境內(nèi)規(guī)律．
(2)	bn－an＝aqn－1－a－(n－1)d 　�。絘(qn－1－1)－(n－1)a(q－1) 　�。�(q－1)a［(qn－2＋qn－3q＋…＋q＋1)－3(n－1)］． 　　∵a＞0，∴q＞1，∴qn－2＋qn－3＋…＋q＋1＞＝n－1 　　∴bn＞an(n≥3)． 　　點評：證明bn＞an (n≥3)時，也可以用數(shù)學歸納法．