求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z：
①z+
10
z
是實(shí)數(shù)，且1＜z+
10
z
≤6；
②z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)．
分析：根據(jù)題意，對(duì)于①從整體角度思考，可視z+
10
z
為一個(gè)整體t，進(jìn)行整體換元，得到 z2-tz+10=0，對(duì)于②利用求根公式解出 z，再利用z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)，求出t，即得滿足條件的復(fù)數(shù)z．
解答：解：設(shè)z+
10
z
=t，則 z2-tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2-40＜0，
解方程得 z=
t
2
±
40-t2
2
 i．
又∵z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)，∴t=2或t=6，
故滿足條件的復(fù)數(shù)共4個(gè)：z=1±3i 或 z=3±i．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程在判別式小于0時(shí)的解法，體現(xiàn)了換元的思想．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=3，a2=5，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）．令bn=
1
an•an+1
．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若f（x）=2x-1，求證：Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)＜
1
6
（n≥1）；
（Ⅲ）令Tn=
1
2
(b1a+b2a2+b3a3+…+bnan)（a＞0），求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有a的值：①對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Tn＜
1
6
；②對(duì)于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在n0∈N*，使得n≥n0時(shí)，Tn＞m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函數(shù)f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一個(gè)極值點(diǎn)
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）當(dāng)t=2時(shí)，令bn=
an-1
(an+1)(an+1+1)
，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Sn，求證：Sn＜
1
6

（Ⅲ）設(shè)cn=
1
2
an
(2n+1)(2n+1+1)
，數(shù)列{cn}前n項(xiàng)的和為Tn，求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的t的值：
（1）Tn＜
1
6

（2）對(duì)于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在k∈N*，當(dāng)n≥k時(shí)，Tn＞m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足.令.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若，求證：（）；

（Ⅲ）令（），求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有的值：①對(duì)于任意正整數(shù)，都有；②對(duì)于任意的，均存在，使得時(shí)，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-2 3.3復(fù)數(shù)的幾何意義練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)．

（1）是實(shí)數(shù)，且；

（2）的實(shí)部和虛部都是整數(shù)．

 

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