Question

9．已知k，m∈N*，若存在互不相等的正整數(shù)a₁，a₂，…，a_m，使得a₁a₂，a₂a₃，…，a_m-1a_m，a_ma₁同時(shí)小于k，則記f（k）為滿足條件的m的最大值．
（1）求f（6）的值；
（2）對(duì)于給定的正整數(shù)n（n＞1），
（�。┊�(dāng)n（n+2）＜k≤（n+1）（n+2）時(shí)，求f（k）的解析式；
（ⅱ）當(dāng)n（n+1）＜k≤n（n+2）時(shí)，求f（k）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意，取a₁=1，a₂=2，a₁a₂＜6，滿足題意，若?a₃≥3，則必有a₂a₃≥6，不滿足題意，即可得出m的值．
（2）由題意，當(dāng)n（n+1）＜k≤（n+1）（n+2）時(shí)，設(shè)A₁={1，2，…，n}，A₂={n+1，n+2，n+3，…}，通過分析可得：f（k）≤2n，
（ⅰ）當(dāng)n（n+2）＜k≤（n+1）（n+2）時(shí)，取一串?dāng)?shù)a_i為：1，2n，2，2n-1，3，2n-2，…，n-1，n+2，n，n+1，可得f（k）=2n．
（ⅱ）當(dāng)n（n+1）＜k≤n（n+2）時(shí)，從A₁中選出的n個(gè)a_i：1，2，…，n，考慮數(shù)n的兩側(cè)的空位，填入集合A₂的兩個(gè)數(shù)a_p，a_q，不妨設(shè)na_p＞na_q，則na_p≥n（n+2）≥k，與題意不符，可得：f（k）≤2n-1．

解答 解：（1）由題意，取a₁=1，a₂=2，a₁a₂＜6，滿足題意，
若?a₃≥3，則必有a₂a₃≥6，不滿足題意，
綜上所述：m的最大值為2，即f（6）=2．　…（4分）
（2）由題意，當(dāng)n（n+1）＜k≤（n+1）（n+2）時(shí)，
設(shè)A₁={1，2，…，n}，A₂={n+1，n+2，n+3，…}，
顯然，?a_i，a_i+1∈A₁時(shí)，滿足a_ia_i+1≤n（n-1）＜n（n+1）＜k，
∴從集合A₁中選出的a_i至多n個(gè)，?a_j，a_j+1∈A₂時(shí)，a_ja_j+1≥（n+1）（n+2）≥k，
∴從集合A₂中選出的a_j必不相鄰，
又∵從集合A₁中選出的a_i至多n個(gè)，
∴從集合A₂中選出的a_j至多n個(gè)，放置于從集合A₁中選出的a_i之間，
∴f（k）≤2n，…（6分）
（�。┊�(dāng)n（n+2）＜k≤（n+1）（n+2）時(shí)，
取一串?dāng)?shù)a_i為：1，2n，2，2n-1，3，2n-2，…，n-1，n+2，n，n+1，
或?qū)懗?{a_i}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{i+1}{2}，i為奇數(shù)}\\{2n+1-\frac{i}{2}，i為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，（1≤i≤2n），
此時(shí)a_ia_i+1≤n（n+2）＜k，（1≤i≤2n-1），a_2na₁=n+1＜k，滿足題意，
∴f（k）=2n，…（8分）
（ⅱ）當(dāng)n（n+1）＜k≤n（n+2）時(shí)，
從A₁中選出的n個(gè)a_i：1，2，…，n，考慮數(shù)n的兩側(cè)的空位，填入集合A₂的兩個(gè)數(shù)a_p，a_q，不妨設(shè)na_p＞na_q，則na_p≥n（n+2）≥k，與題意不符，
∴f（k）≤2n-1，
取一串?dāng)?shù)a_i為：1，2n-1，2，2n-2，3，2n-3，…，n-2，n+2，n-1，n+1，n
或?qū)懗?{a_i}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{i+1}{2}，i為奇數(shù)}\\{2n-\frac{i}{2}，i為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，（1≤i≤2n-1），
此時(shí)a_ia_i+1≤n（n+1）＜k，（1≤i≤2n-2），a_2n-1a₁=n＜k，滿足題意，
∴f（k）=2n-1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、構(gòu)造法球數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了分析問題與解決問題的能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．