Question

（2012•蕪湖二模）如圖，直角坐標(biāo)系XOY中，點(diǎn)F在x軸正半軸上，△OFG的面積為S．且

OF

•

FG

=1，設(shè)|

OF

|=c(c≥2)，S=

3

4

c．
（1）以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)G，求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)|

OG

|取最小值時，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)A、B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓的下頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)D在直線PA上，若直線PB的方程為，且

AP

•

CD

=0，試求CD直線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)G（x₀，y₀），利用△OFG的面積S=

1

2

c•|y₀|=

3

4

c即可求得點(diǎn)G的縱坐標(biāo)；
（2）利用

OF

•

FG

=c（x₀-c）=1，可求得x₀=c+

1

c

，從而可求得|

OG

|=

(c+ 1 c )2+ 9 4

（c≥2），構(gòu)造函數(shù)f（c）=c+

1

c

，利用其單調(diào)性質(zhì)可求得當(dāng)c=2時f（c）有最小值

5

2

，從而可求得G點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由（2）知：A（-

10

，0），B（

10

，0），C（0，-

6

），由設(shè)P（x₁，y₁），可求得k_AP•k_BP=-

3

5

，繼而可求得k_AP=-

1

5

，再由

AP

•

CD

=0可求得k_CD=5，從而可求得直線CD的方程．

解答：解：（1）設(shè)G（x₀，y₀）∵S=

1

2

|

OF

|•|y₀|，
∴

3

4

c=

1

2

c•|y₀|，|y₀|=

3

2

，
∵

OF

=（c，0），

FG

=（x₀-c，y₀）（y₀＞0），
∴y₀=

3

2

…（3分）
（2）由（1）知

OF

•

FG

=c（x₀-c）=1，∴x₀=c+

1

c

∴|

OG

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

（c≥2）
∵f（c）=c+

1

c

在[2，+∞]上遞增，
∴當(dāng)c=2時f（c）有最小值2+

1

2

=

5

2

，
此時x₀=

5

2

，y₀=

3

2

，
∴G（

5

2

，

3

2

），
由于點(diǎn)G在橢圓E上，且c=2∴可求得a²=10，b²=6
方程為：

x2

10

+

y2

6

=1…（8分）
（3）由（2）知：A（-

10

，0），B（

10

，0），C（0，-

6

），
∵直線BP：y=kx-3

10

經(jīng)過點(diǎn)B，
∴求得k=3

10

又設(shè)P（x₁，y₁）則y12=

6

10

（10-x12），
∴k_AP•k_BP=

y1

x1- 10

×

y1

x1+ 10

=

y 2 1

x 2 1 -10

=

6 10 (10- x 2 1 )

x 2 1 -10

=-

6

10

=-

3

5

，
∴k_AP=-

3

5

×

1

kBP

=-

3

5

•

1

k

=-

3

5

•

1

3

=-

1

5

，
∵

AP

•

CD

=0，
∴k_AP•k_CD=-1，
∴-

1

5

•k_CD=-1，
∴k_CD=5．
又CD直線過點(diǎn)C（0，-

6

）故：所求CD方程為：y=5x-

6

…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓錐曲線的關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查雙鉤函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查綜合分析與應(yīng)用的能力，屬于難題．