Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

a-1

x

-lnx-1，其中a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)任意x∈[1，+∞）恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判定單調(diào)性并求極值（Ⅱ）恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx-1，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
令f'（x）＞0得x＞1，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），
令f'（x）＜0得0＜x＜1，則函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），
則函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=0，無極大值．
（Ⅱ）依題意有：f_min（x）≥0，x∈[1，+∞）
f′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

(ax+(a-1))(x-1)

x2

=

a(x+ a-1 a )(x-1)

x2

，
①當(dāng)

1-a

a

≤1即a≥

1

2

時(shí)，
f'（x）≥0，x∈[1，+∞），
則f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
則f_min（x）=f（1）=a+a-1-1=2a-2≥0，
解得：a≥1，
②當(dāng)

1-a

a

＞1即0＜a＜

1

2

時(shí)，
函數(shù)f（x）在[1，

1-a

a

]單調(diào)遞減，在[

1-a

a

，+∞)單調(diào)遞增，
則fmin(x)=f(

1-a

a

)＜f(1)=2a-2＜-1＜0，不合題意．
綜上所述：正數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間及極值，同時(shí)考查了恒成立問題及討論的思想．