Question

已知復(fù)數(shù)z=1+

2i

1-i

，則1+z+z²+z³+…+z²⁰¹²的值為（　�。�

A．1+i

B．1

C．i

D．-i

Answer 1

分析：由復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算可得z=i，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得1+z+z²+z³+…+z²⁰¹²=1+

i(1-i2012)

1-i

，計(jì)算可得答案．

解答：解：∵z=1+

2i

1-i

=1+

2i(1+i)

(1-i)(1+i)

=1+

-2+2i

2

=i，
故1+z+z²+z³+…+z²⁰¹²=1+

i(1-i2012)

1-i

，
而i²⁰¹²=（i²）⁵⁰⁶=（-1）⁵⁰⁶=1，故

i(1-i2012)

1-i

=0，
即故1+z+z²+z³+…+z²⁰¹²=1+

i(1-i2012)

1-i

=1，，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題為復(fù)數(shù)的運(yùn)算和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．