Question

判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間是否存在零點(diǎn)．
（1）f（x）=x²-3x-18，x∈[1，8]；
（2）f（x）=log₂（x+2）-x，x∈[1，3]．

Answer 1

【答案】分析：利用函數(shù)零點(diǎn)的存在定理確定出零點(diǎn)是否存在，或者通過解方程、數(shù)形結(jié)合解出其零點(diǎn)，
（1）可以利用零點(diǎn)的存在性定理或直接求出零點(diǎn)，
（2）可以利用零點(diǎn)的存在性定理或利用兩圖象的交點(diǎn)來確定函數(shù)是否有零點(diǎn)．
解答：解：（1）令f（x）=0得x²-3x-18=0，x∈[1，8]
'∴（x-6）（x+3）=0，
∴x=6∈[1，8]，x=-3∉[1，8]，
故f（x）=x²-3x-18，x∈[1，8]存在零點(diǎn)．

（2）方法一：
∵f（1）=log₂3-1＞log₂2-1=0，f（3）=log₂5-3＜log₂8-3=0，
∴f（1）•f（3）＜0，
故f（x）=log₂（x+2）-x，x∈[1，3]存在零點(diǎn)
方法二：設(shè)y=log₂（x+2），y=x，在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，
從圖象中可以看出當(dāng)1≤x≤3時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，
因此f（x）=log₂（x+2）-x，x∈[1，3]存在零點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的確定方法，考查函數(shù)與方程的思想，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．也可根據(jù)連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理進(jìn)行零點(diǎn)存在的判定．