Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2，（n∈N^*），
求證：b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*）；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由 ，可遞推 ，兩式作差得a_n-a_n-1=1進(jìn)而得到通項(xiàng)公式．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，先由證當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立．再假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N₊）時(shí)，不等式成立，遞推到當(dāng)n=k+1時(shí)成立即可．
（3）構(gòu)造函數(shù)f（x）=1n（1+x）-x，可證得1n（1+x）＜x．通過對(duì)不等式的左邊取自然對(duì)數(shù)，利用結(jié)論可證．
解答：解：（1）當(dāng)n≥3時(shí)，，，可得：，∴a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N^*）．
∵a₁+a₂=2a₂+2-1，∴a₂=3．
可得，----------------（4分）
（2）1°當(dāng)n=2時(shí)，b₂=b₁²-2=14＞3=a₂，不等式成立．
2°假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)，不等式成立，即b_k＞k+1．那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，b_k+1=b_k²-（k-1）b_k-2=b_k（b_k-k+1）-2＞2b_k-2＞2（k+1）-2=2k≥k+2，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
根據(jù)（1°），（2°）可知，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，b_n＞a_n．--------------（8分）
（3）設(shè)，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0），∴1n（1+x）＜x．
∵當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，，
∴，
∴
∴．----------------------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系來求數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注意分類討論，還考查了用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩點(diǎn)，一是遞推基礎(chǔ)不能忽視，二是遞推時(shí)要變形，符合假設(shè)的模型．