Question

已知在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)的和S_n滿(mǎn)足：．則此數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題目給出的遞推式，取n=n+1時(shí)得到另外一個(gè)式子，兩式作差后兩邊平方運(yùn)算，得到，構(gòu)造數(shù)列設(shè)，則數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，把b_n代入后可求a_n，結(jié)合可對(duì)求出的a_n進(jìn)行取舍．
解答：解：∵2①
∴2②
②-①得：2，
所以，
兩邊平方得：，
即
設(shè)，則b_n+1-b_n=4，
而．
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，b_n=2+4（n-1）=4n-2．
則，即，又a_n＞0＞0，故，
從而，解得：，
而a₁=1，由2（a₁+a₂）=，即，解得a₂=-1±，
取-1＞0，則只有符合．
所以，此數(shù)列的通項(xiàng)公式．
故答案為有（n∈N^*）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，考查了利用遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，在遞推式中替換n=n+1（或n-1）得另外一個(gè)遞推式，兩式聯(lián)立求解是解答此類(lèi)問(wèn)題常用的方法，解答該題的關(guān)鍵是兩式作差后兩邊平方，然后構(gòu)造函數(shù)，這也是該題的難點(diǎn)所在，該題是中檔題．