Question

已知1＜m＜n，m，n∈N^*，求證：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)要證明的結(jié)論，利用分析法來證明本題，從結(jié)論入手，要證結(jié)論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個范圍上成立，利用導數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì)．
解答：證明：要證（1+m）ⁿ＞（1+n）^m
只要證nln（1+m）＞mln（1+n）
即＞．
構(gòu)造函數(shù)令f（x）=，x∈[2，+∞），
只要證f（x）在[2，+∞]上單調(diào)遞減，
只要證f′（x）＜0．
∵f′（x）==．
當x≥2時，x-lg（1+x）^（1+x）＜0，
x²（1+x）＞0，
∴f′（x）＜0，
即x∈[2，+∞]時，f′（x）＜0．
以上各步都可逆推，得（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．
點評：本題考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構(gòu)造函數(shù)，是一個綜合題，題目難度中等，在證明不等式時，注意采用什么形式，選擇一種合適的寫法．