【題目】已知中心為原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且橢圓C的長軸是圓的一條直徑.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過原點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與圓M交于P、Q兩點，且直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，列方程，再由橢圓長軸是圓的直徑，判斷，即可求解；

（2）根據(jù)題意，設直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元得到關于的一元二次方程，使判別式，列出，由直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，列出方程，再代入，化簡求解參數(shù)值，再根據(jù)直線與圓相交利用幾何法求解弦長，并根據(jù)判別式，求解參數(shù)范圍，代入，即可求取值范圍.

（1）設橢圓方程為，

由已知，得，

由橢圓C的長軸是圓的一條直徑，得，則.

得橢圓方程為.

（2）設，

聯(lián)立方程，得，

，

設，，則，（*）

因為直線OA、AB、OB的斜率成等比數(shù)列，得

，將（*）式代入，得

，因為，則，得，

由OA、OB的斜率存在，及，得

，得，且，

設原點O到直線l的距離為d，則，

，因為，且，

故.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】響應“文化強國建設”號召，某市把社區(qū)圖書閱覽室建設增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求，隨機抽取市民200人做調(diào)查，統(tǒng)計顯示，男士喜歡閱讀古典文學的有64人，不喜歡的有56人；女士喜歡閱讀古典文學的有36人，不喜歡的有44人.

（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認為喜歡閱讀古典文學與性別有關系？

（2）為引導市民積極參與閱讀，有關部門牽頭舉辦市讀書交流會，從這200人中篩選出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜歡古典文學.現(xiàn)從這9名代表中任選3名男代表和2名女代表參加交流會，記為參加交流會的5人中喜歡古典文學的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．

附：，其中．

參考數(shù)據(jù)：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

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【題目】如圖，正方體，點，，分別是棱，，的中點，動點在線段上運動.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的右頂點為，上頂點為.已知橢圓的離心率為，.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設直線：與橢圓交于，兩點，且點在第二象限.與延長線交于點，若的面積是面積的3倍，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對每一個正整數(shù)，該數(shù)列前項的最大值記為，第項之后各項的最小值記為，記．

（1）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的通項公式；

（2）證明：“數(shù)列單調(diào)遞增”是“”的充要條件；

（3）若對任意恒成立，證明：數(shù)列的通項公式為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱的所有棱長相等，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）當是的中點時，求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】談祥柏先生是我國著名的數(shù)學科普作家，他寫的《數(shù)學百草園》、《好玩的數(shù)學》、《故事中的數(shù)學》等書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣大讀者喜愛.下面我們一起來看《好玩的數(shù)學》中談老的一篇文章《五分鐘內(nèi)挑出埃及分數(shù)》：文章首先告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分數(shù)（稱為埃及分數(shù)）.如用兩個埃及分數(shù)與的和表示等.從這100個埃及分數(shù)中挑出不同的3個，使得它們的和為1，這三個分數(shù)是________.（按照從大到小的順序排列）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)代足球運動是世上開展得最廣泛、影響最大的運動項目，有人稱它為“世界第一運動”．早在2000多年前的春秋戰(zhàn)國時代，就有了一種球類游戲“蹴鞠”，后來經(jīng)過阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現(xiàn)代足球．1863年10月26日，英國人在倫敦成立了世界上第一個足球運動組織——英國足球協(xié)會，并統(tǒng)一了足球規(guī)則．人們稱這一天是現(xiàn)代足球的誕生日．如圖所示，足球表面是由若干黑色正五邊形和白色正六邊形皮圍成的，我們把這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面，任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱．已知足球表面中的正六邊形的面為20個，則該足球表面中的正五邊形的面為______個，該足球表面的棱為______條．

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【題目】在直角坐標系中，已知傾斜角為的直線過點，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程為，直線與曲線分別交于、兩點．

（1）寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若，求直線的斜率．

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