Question

點M（m，4）m＞0為拋物線x²=2py（p＞0）上一點，F(xiàn)為其焦點，已知|FM|=5，
（1）求m與p的值；
（2）以M點為切點作拋物線的切線，交y軸與點N，求△FMN的面積．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義，可以求出p，即可得到拋物線的方程，再根據(jù)點M（m，4）m＞0為拋物線上一點，可以求出m的值，從而得到答案；
（2）利用點斜式設(shè)出切線方程，聯(lián)立拋物線的方程，消去y，得到關(guān)于x的一個一元二次方程，根據(jù)△=0，可求出k的值，即可得到切線方程，求出N，利用三角形的面積公式，即可求得答案．

解答：解：（1）∵點M（m，4）m＞0為拋物線x²=2py（p＞0）上一點，F(xiàn)為其焦點，已知|FM|=5，
∴拋物線定義可知，|FM|=

p

2

+4=5，
∴p=2，
∴拋物線的方程為x²=4y，
又∵M（m，4）在拋物線上，
∴m²=4×4，
∴m=4，
故p=2，m=4；
（2）由（1）可知，M（4，4），
由題意可知，切線的斜率k必定存在，
∴設(shè)過M點的切線方程為，y-4=k（x-4），
聯(lián)立方程組可得，

x2=4y y-4=k(x-4)

，
消去y可得，x²-4kx+16k-16=0，
∵直線為拋物線的切線，則直線與拋物線只有一個交點，
∴x²-4kx+16k-16=0只有一個根，
∴△=16k²-64（k-1）=0，
∴k=2，
∴切線方程為y=2x-4，
∴切線與y軸的交點為N（0，-4），且拋物線的焦點為F（0，1），
∴S△FMN=

1

2

|FN|•m=

1

2

×5×4=10，
故△FMN的面積為10．

點評：本題考查了拋物線的定義的運用，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系．在研究圓錐曲線的問題時，要注意運用運用圓錐曲線的定義，而直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般聯(lián)立方程組，消元轉(zhuǎn)化成二次方程進行研究．屬于中檔題．