Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，設(shè)∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e₁，以C，D為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率為e₂，則（ ）

A．隨著角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂為定值
B．隨著角度θ的增大，e₁減小，e₁e₂為定值
C．隨著角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂也增大
D．隨著角度θ的增大，e₁減小，e₁e₂也減小

Answer 1

【答案】分析：連接BD、AC，假設(shè)AD=t，根據(jù)余弦定理表示出BD，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e₁=，最后根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷e₁的單調(diào)性；同樣表示出橢圓中的c'和a'表示出e₂的關(guān)系式，最后令e₁、e₂相乘即可得到e₁e₂的關(guān)系．
解答：解：連接BD，AC設(shè)AD=t
則BD==
∴雙曲線中a=
e₁=
∵y=cosθ在（0，）上單調(diào)減，進(jìn)而可知當(dāng)θ增大時(shí)，y==減小，即e₁減小
∵AC=BD
∴橢圓中CD=2t（1-cosθ）=2c∴c'=t（1-cosθ）
AC+AD=+t，∴a'=（+t）
e₂==
∴e₁e₂=×=1
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓和雙曲線的離心率的表示，考查考生對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，圓錐曲線是高考的重點(diǎn)每年必考，平時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的積累和練習(xí)．