Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

-alnx
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，過(guò)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線斜率為k=2-a能否成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，跟據(jù)f′（x）f（x）隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）假設(shè)存在a，使得k=2-a，根據(jù)（1）利用韋達(dá)定理求出直線斜率為k，根據(jù)（1）函數(shù)的單調(diào)性，推出矛盾，即可解決問(wèn)題．

解答： 解解：（1）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4，
①當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＜-2時(shí)，△＞0，g（x）=0的兩根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
③當(dāng)a＞2時(shí)，△＞0，g（x）=0的兩根為x₁=

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

，
當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）分別在（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）上單調(diào)遞增，在（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

）上單調(diào)遞減．
（2）由（I）知，a＞2．
因?yàn)閒（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

-a（lnx₁-lnx₂），
所以k═1+（

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=1+

1

x1•x2

-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
又由（1）知，x₁x₂=1．于是
k=2-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
若存在a，使得k=2-a，則

lnx1-lnx2

x1-x2

=1，即lnx₁-lnx₂=x₁-x₂，
亦即 x₂-

1

x2

-2lnx₂=0，（x₂＞1）（*）
再由（1）知，函數(shù)h（t）=t-

1

t

-2lnt在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而x₂＞1，
所以x₂-

1

x2

-2lnx₂＞1-1-2ln1=0，這與（*）式矛盾，
故不存在a，使得k=2-a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，對(duì)方程f'（x）=0有無(wú)實(shí)根，有實(shí)根時(shí)，根是否在定義域內(nèi)和根大小進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想方法，其中問(wèn)題（2）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．屬于難題．