Question

國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值v（美元）與其重量w（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．
（Ⅰ）若把一顆鉆石切割成重量比為1：3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；
（Ⅱ）試用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1：1切割，價值損失的百分率最大．
（注：價值損失的百分率=；在切割過程中的重量損耗忽略不計）

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意設(shè)v=kw²，又當(dāng)w=3時，v=54000，∴k=6000，故v=kw²=6000w²．…（4分）
設(shè)這顆鉆石的重量為a克拉，則按重量比為1：3切割后的價值為．
價值損失為．
價值損失的百分率為
答：價值損失的百分率為37.5%．…（8分）
（Ⅱ）解法一：若把一顆鉆石按重量比為m：n切割成兩顆，價值損失的百分率應(yīng)為，又，
等號當(dāng)且僅當(dāng)m=n時成立．即重量比為1：1時，價值損失的百分率達到最大…（13分）
解法二：設(shè)一顆鉆石切割成兩顆，其重量比為1：x，則價值損失的百分率為，
又x＞0，∴x²+1≥2x，故
等號當(dāng)且僅當(dāng)x=1時成立．故當(dāng)重量比為1：1時，價值損失的百分率達到最大…（13分）
分析：（Ⅰ）先由題意可設(shè)價值與重量的關(guān)系式為：y=kx²，再根據(jù)3克拉的價值是54000美元求得k值，即可求得此鉆石的價值與重量的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）解法一：若把一顆鉆石按重量比為m：n切割成兩顆，確定價值損失的百分率，利用基本不等式可得結(jié)論；
解法二：設(shè)一顆鉆石切割成兩顆，其重量比為1：x，確定價值損失的百分率，利用基本不等式可得結(jié)論．
點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于中檔題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．