Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=ax（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若a＞0，記F（x）=g（x）-f（x），且F（x）在（0，+∞）上有最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論：當a=0時，函數(shù)f（x）=|x|是一個偶函數(shù)；當a≠0時，通過取特值：x=a時f（-a）與f（a）的關系得出函數(shù)f（x）=|x-a|是非奇非偶函數(shù)．
（2）利用零點分段法，我們易將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，然后根據(jù)分段函數(shù)單調性的判判斷方法，分類討論，即可得到結論，討論a的范圍，確定最值落在哪個區(qū)間，從而求出a的值．

解答：解：（1）當a=0時，函數(shù)f（x）=|x|是一個偶函數(shù)；
當a≠0時，取特值：f（a）=0，f（-a）=2|a|≠0，
故函數(shù)f（x）=|x-a|是非奇非偶函數(shù)．
（2）對于a＞0，F(x)=g(x)-f(x)=ax-|x-a|=

(a+1)x-a(0＜x＜a) (a-1)x+a(x≥a)

若a＞1，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a），[a，+∞）上遞增，無最大值；
若a=1，F(x)=

2x-1(x＜1) 1(x≥1)

有最大值1
若0＜a＜1，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a）上遞增，在[a，+∞）上遞減，F(xiàn)（x）有最大值F（a）=a²；
綜上所述得，當0＜a≤1時，F(xiàn)（x）有最大值．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)奇偶性的判斷及分段函數(shù)的圖象單調性，關鍵是要利用零點分段法，我們易將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式后研究其性質．