Question

已知函數(shù) （a為實(shí)數(shù)）
（Ⅰ） 當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 若當(dāng)時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，令得
∴f（x）的增區(qū)間為 …（4分）
（Ⅱ）令g（x）=，設(shè)若使f（x）有意義，則a≤-1或a≥1
∵＜g（0）=，
∴a≤-1或 …（6分）
1°當(dāng)a≤-1時(shí)，，
若a=-1，則f'（x）≤0恒成立，，而g（x）＞0，故f（x）＜g（x）成立
若a＜-1，令，，f'（x）＜0，f（x）遞減；
，f'（x）＞0，f（x）遞增，
又，f（x）＜0，而g（x）＞0，
故f（x）＜g（x）成立 …（8分）
2°時(shí)，令F（x）=f（x）-g（x），則
若a≥2，則F'（x）＞0，而，
∴f（x）＜0＜g（x），此時(shí)成立 …（10分）
若，設(shè)sinx=t，t∈（-1，1），令，則，
由知，即，
∴，
又，
∴，G（t）＞0，，G（t）＜0
∴F（x）先增后減，而，必存在x₀使F（x₀）＞0，不成立
綜上，a∈（-∞，-1]∪[2，+∞） …（12分）
分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，令其大于0，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）先確定a≤-1或，再分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)值的正負(fù)，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問題，正確分類是關(guān)鍵．