（2009•浦東新區(qū)一模）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=a，公差為2的等差數(shù)列；數(shù)列{bn}滿足2bn=（n+1）an．
（1）若a1、a3、a4成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意n∈N*都有bn≥b5成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）數(shù)列{cn}滿足 cn-cn-2=3•(-
1
2
)n-1(n∈N*且n≥3)，其中c1=1，c2=-
3
2
；f（n）=bn-|cn|，當(dāng)-16≤a≤-14時(shí)，求f（n）的最小值（n∈N*）．
分析：（1）因?yàn)閍1、a3、a4成等比數(shù)列，所以a1•a4=a32，由此能求出an．
（2）由2bn=（n+1）an，bn=n2+
a
2
n+
a-2
2
=(n+
a
4
)2-(
a-4
4
)2，由題意得：
9
2
≤-
a
4
≤
11
2
，由此能求出a的范圍．
（3）因?yàn)?span id="yxsypvx" class="MathJye">cn-cn-2=3•(-
1
2
)n-1(n≥3)．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：Cn=-2+(
1
2
)n-1(n∈N*)；Cn=2-(
1
2
)n-1(n∈N*)；由此能求出f(n)min=f(4)=16+2a+
a-2
2
+
1
8
-2=
5
2
a+
105
8
．
解答：解：（1）因?yàn)閍1、a3、a4成等比數(shù)列，
所以a1•a4=a32，
即a•（a+6）=（a+4）2，a=-8，
∴an=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2bn=（n+1）an，
bn=n2+
a
2
n+
a-2
2
=(n+
a
4
)2-(
a-4
4
)2，…（6分）
由題意得：
9
2
≤-
a
4
≤
11
2
，
-22≤a≤-18…（10分）
（3）因?yàn)?span id="krqhgbh" class="MathJye">cn-cn-2=3•(-
1
2
)n-1(n≥3)
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：cn-cn-2=3•(-
1
2
)n-1=-3•(
1
2
)n-1，
cn-2-cn-4=3•(-
1
2
)n-3=-3•(
1
2
)n-3，
C4-C2=3•(-
1
2
)3=-3•(
1
2
)3，
所以 Cn=C2+（C4-C2）+L+（Cn-2-Cn-4）+（Cn-Cn-2）
=-3•[
1
2
+(
1
2
)3+L+(
1
2
)n-3+(
1
2
)n-1]=-3•
1
2
-
1
2
(
1
4
)
n
2
1-
1
4

即Cn=-2+(
1
2
)n-1(n∈N*)；（12分）
②n為奇數(shù)時(shí)：Cn-Cn-2=3•(-
1
2
)n-1=3•(-
1
2
)n-1，Cn-2-Cn-4=3•(-
1
2
)n-3=3•(
1
2
)n-3，
C3-C1=3•(-
1
2
)2=3•(
1
2
)2，
所以 Cn=C1+（C3-C1）+L+（Cn-2-Cn-4）+（Cn-Cn-2）
=1+3[(
1
2
)3+L+(
1
2
)n-3+(
1
2
)n-1]=1+
3
4
[1-(
1
4
)
n-1
2
]
1-
1
4
=2-(
1
2
)n-1
即Cn=2-(
1
2
)n-1(n∈N*)；…（14分）
綜合①②得   Cn=
2-(
1
2
)n-1
-2+(
1
2
)n-1  n為偶數(shù)時(shí)
n為奇數(shù)時(shí)
所以 |cm| =2-(
1
2
)n-1，bn=n2+
a
2
n+
a-2
2

所以f(m)=bm-|cm| =n2+
a
2
n+
a-2
2
+(
1
2
)n-1-2，…（15分）
則f(n+1)=(n+1)2+
a
2
(n+1)+
a-2
2
+(
1
2
)n -2，
f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+
a
2
(n+1)+
a-2
2
+(
1
2
)n-2]-[n2+
a
2
n+
a-2
2
+(
1
2
)n-1-2]
=2n+1-(
1
2
)n+
a
2
．…（16分）
因?yàn)閿?shù)列{2n+1-(
1
2
)n+
a
2
}對(duì)任意n∈N*是單調(diào)遞增數(shù)列，
且-16≤a≤-14
所以當(dāng)n≥4時(shí)，f（n+1）-f（n）
=2n+1-(
1
2
)n+
a
2
≥ 9-
1
16
+
a
2
 ＞
15
16
＞0
即f（4）＜f（5）＜f（6）＜L＜f（n）＜L
所以當(dāng)1≤n≤3時(shí)f（n+1）-f（n）
=2n+1-(
1
2
)n+
a
2
＜0-，
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）
當(dāng)n=4時(shí)，f（4）=16+2a+
a-2
2
+
1
8
-2
所以f(n)min=f(4)=16+2a+
a-2
2
+
1
8
-2=
5
2
a+
105
8
 …（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•浦東新區(qū)一模）如圖：某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越短，鋪設(shè)管道的成本越低．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10
3
米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）若sinθ+cosθ=
3
+1
2
，求此時(shí)管道的長度L；
（3）問：當(dāng)θ取何值時(shí)，鋪設(shè)管道的成本最低？并求出此時(shí)管道的長度．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•浦東新區(qū)一模）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若S2=12，S3=a1-6，則
limn→∞
Sn=
16
16
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•浦東新區(qū)一模）函數(shù)y=2sin2x的最小正周期為
π
π
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•浦東新區(qū)一模）對(duì)于函數(shù)f1（x），f2（x），h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么稱h（x）為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)．
（1）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)？并說明理由．
第一組：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+
π
3
)；
第二組：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
（2）設(shè)f1(x)=log2x，f2(x)=log
1
2
x，a=2，b=1，生成函數(shù)h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）設(shè)f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=
1
x
(x＞0)，取a＞0，b＞0生成函數(shù)h（x）圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）．若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x1，x2且x1+x2=1，試問是否存在最大的常數(shù)m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出這個(gè)m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•浦東新區(qū)二模）在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c已知a=2
3
 ， c=2，且
.
sinCsinB0
0b-2c
cosA01
.
=0，求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案