Question

（2013•海淀區(qū)一模）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點(diǎn)N在線段PB上，且PN=

2

．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求證：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC，利用線面垂直的性質(zhì)可知PA⊥BD，再利用線面垂直的判定定理即可證明BD⊥PC；
（Ⅱ）利用已知條件分別求出BM、MD、PB，得到

BM

MD

=

BN

NP

，即可得到MN∥PD，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅲ）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角的平面角．

解答：證明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2

3

．
在△ACD中，∵M(jìn)為AC中點(diǎn)，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，∴DM=

2 3

3

，
∴

BM

MD

=

3

1

．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4

2

，
∴

BN

NP

=

3

1

，
∴

BN

NP

=

BM

MD

，
∴MN∥PD．
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
∴B（4，0，0），C(2，2

3

，0)，D(0，

4 3

3

，0)，P（0，0，4）．
由（Ⅱ）可知，

DB

=(4，-

4 3

3

，0)為平面PAC的法向量．

PC

=(2，2

3

，-4)，

PB

=(4，0，-4)．
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • PC =0 n • PB =0

，即

2x+2 3 y-4z=0 4x-4z=0

，
令z=3，得x=3，y=

3

，則平面PBC的一個(gè)法向量為

n

=(3，

3

，3)，
設(shè)二面角A-PC-B的大小為θ，則cosθ=

n • DB

| n | | DB |

=

7

7

．
所以二面角A-PC-B余弦值為

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握正三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例在三角形中的逆定理應(yīng)用、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的平面角是解題的關(guān)鍵．