Question

對于數集，其中，，定義向量集

. 若對于任意，存在，使得，則稱X

具有性質P. 例如具有性質P.

    （1）若x＞2，且，求x的值；（4分）

    （2）若X具有性質P，求證：1ÎX，且當x_n＞1時，x₁=1；（6分）

    （3）若X具有性質P，且x₁=1，x₂=q（q為常數），求有窮數列的通

項公式.（8分）

 

Answer 1

【答案】

（1）4；（2）見解析；（3），i=1, 2, …, n.

【解析】[解]（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.        ……2分

         所以x=2b，從而x=4.                                       ……4分

    （2）證明：取.設滿足.

         由得，所以、異號.

         因為-1是X中唯一的負數，所以、中之一為-1，另一為1，

故1ÎX.                                                  ……7分

假設，其中，則.

選取，并設滿足，即，

則、異號，從而、之中恰有一個為-1.

若=-1，則，矛盾；

若=-1，則，矛盾.

所以x₁=1.                                                ……10分

    （3）[解法一]猜測，i=1, 2, …, n.                        ……12分

         記，k=2, 3, …, n.

         先證明：若具有性質P，則也具有性質P.

         任取，、Î.當、中出現-1時，顯然有滿足；

         當且時，、≥1.

         因為具有性質P，所以有，、Î，使得，

從而和中有一個是-1，不妨設=-1.

假設Î且Ï，則.由，得，與

Î矛盾.所以Î.從而也具有性質P.               ……15分

現用數學歸納法證明：，i=1, 2, …, n.

當n=2時，結論顯然成立；

         假設n=k時，有性質P，則，i=1, 2, …, k；

         當n=k+1時，若有性質P，則

         也有性質P，所以.

         取，并設滿足，即.由此可得s與t中有且只有一個為-1.

         若，則，所以，這不可能；

         所以，，又，所以.

         綜上所述， ，i=1, 2, …, n.                  ……18分

         [解法二]設，，則等價于.

         記，則數集X具有性質P當且僅當數集B關于

原點對稱.                                               ……14分

注意到-1是X中的唯一負數，共有n-1個數，

所以也只有n-1個數.

由于，已有n-1個數，對以下三角數陣

                    

                     

                      ……

                     

         注意到，所以，從而數列的通項公式為

         ，k=1, 2, …, n.                        ……18分