Question

正三棱錐V—ABC的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，過底面AB邊的截面交側(cè)棱VC于P.

（1）若P為VC的中點，求截面PAB的面積；

（2）求截面PAB的面積的最大值.

Answer 1

解析:（1）∵四面體V—ABC為正三棱錐，

∴V在平面ABC上的射影O為△ABC的中心.連結(jié)CO并延長交AB于D，連結(jié)DP，則有CD⊥AB.由VO⊥面ABC.

∴AB⊥面VOC.∴AB⊥DP.

在Rt△VOC中，可求OC=.

∴cos∠PCO=OC∶VC=.

由P為VC的中點，根據(jù)余弦定理得

PD²=PC²+CD²-2PC·CD·cos∠PCO

=·cos∠PCO=.

∴S_△PAB=·AB·PD=.

（2）由（1）知，VC上任一點P與AB的中點D的連線都是△APB的高，設(shè)PC=x(0＜x＜3).

∴PD²=PC²+CD²-2PC·CD·cos∠PCD=x²+3-2·x··=x²-x+3.

∴S_△APB=AB·PD

=×2×≤.

∴（S_△APB）_max=.

小結(jié)：對正棱錐的問題，應(yīng)充分利用正棱錐的性質(zhì).求截面ABP面積的最小值，也可直接求D到VC的距離，作△ABP的高DP，此時△ABP的面積最小.