Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx+x+$\frac{a}{x}$．
（Ⅰ）若a=-2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥a+1在（0，+∞）上恒成立，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得f（x）=lnx+x-$\frac{2}{x}$，從而f′（x）=$\frac{1}{x}+1+\frac{2}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出切線方程．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-a-1=lnx+x+$\frac{a}{x}$-a-1，則${g}^{'}（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，由a≤0和a＞0分類討論，得到要使g（x）≥0對(duì)任意正數(shù)x恒成立，需且只需g（x）_min=$ln{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}$≥0，令μ（x）=lnx-x²+x，x＞0，則${μ}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2x+1$=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)列表討論經(jīng)，得到lnx₀-x₀²+x₀≤0，由此能求出a．

解答 解：（Ⅰ）依題意，f（x）=lnx+x-$\frac{2}{x}$，∴f′（x）=$\frac{1}{x}+1+\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=4，又f（1）=-1，
∴所求切線方程為4x-y-5=0．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-a-1=lnx+x+$\frac{a}{x}$-a-1，
則${g}^{'}（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵g（1）=0，∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＜0，
故不滿足題意．
②當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）=0，得x²+x-a=0，此方程有唯一正根x₀，∴a=${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}$，（*）
當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴g（x）_min=g（₀）=$ln{x}_{0}+{x}_{0}+\frac{a}{{x}_{0}}-a-1$=$ln{x}_{0}+{x}_{0}+\frac{{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}}{{x}_{0}}-{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-1$=$ln{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}$，
要使g（x）≥0對(duì)任意正數(shù)x恒成立，需且只需g（x）_min=$ln{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}$≥0，①
令μ（x）=lnx-x²+x，x＞0，
則${μ}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2x+1$=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，
當(dāng)x變化時(shí)，μ′（x），μ（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
μ′（x）	+	0	-
μ（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴μ_max=μ（1）=0，即lnx₀-x₀²+x₀≤0，②
由①②得lnx₀-x₀²+x₀=0，∴x₀=1，
結(jié)合（*）得a=${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}=2$，
綜上所述，a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，著重考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力，是中檔題．