Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=

3

AD．E為CD上一點，且CE=3DE．
（1）求證：AE⊥平面SBD；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能證明AE⊥平面SBD．
（2）分別求出平面SBD的一個法向量和平面SAB的一個法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答： （1）證明：由題意知DS，DA，DC兩兩垂直，
∴以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz，如圖所示．
則：D（0，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C(0，0，2a)，E(0，0，

a

2

)，S(

3

a，0，0)．

DS

=(

3

a，0，0)，

DB

=(0，a，2a)，

AE

=(0，-a，

a

2

)，
∵

AE • DS =0+0+0=0 AE • DB =0-a2+a2=0.

∴AE⊥DS，AE⊥DB，又DS∩DB=D，
∴AE⊥平面SBD．…（7分）
（2）由（1）知

n

=

AE

=(0，-a，

a

2

)為平面SBD的一個法向量．
又∵

AB

=(0，0，2a)，

SA

=(-

3

a，a，0)，
設平面SAB的一個法向量為m=（x，y，z），
則

m• AB =0 m• SA =0

，即

2az=0 - 3 ax+ay=0

，
取x=1，得

m

=(1，

3

，0)，…（12分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

- 3 a

4 • (-a)2+( a 2 )2

=-

15

5

．
 觀察知二面角A-SD-B為銳角，
∴所求的二面角的余弦值為

15

5

．…（15分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．